Download e-book for iPad: Algebra — aller Anfang ist leicht by Peter Göthner, Herbert Kästner

By Peter Göthner, Herbert Kästner

ISBN-10: 3322003825

ISBN-13: 9783322003829

ISBN-10: 332293036X

ISBN-13: 9783322930361

"Gebranntes variety scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

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Whilst this booklet used to be written, equipment of algebraic topology had triggered revolutions on this planet of natural algebra. to elucidate the advances that have been made, Cartan and Eilenberg attempted to unify the fields and to build the framework of a completely fledged concept. The invasion of algebra had happened on 3 fronts during the building of cohomology theories for teams, Lie algebras, and associative algebras.

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Das Beispiel 2 lehrt, daß die inverse Abbildung einer eindeutigen Abbildung F durchaus nicht wieder eindeutig sein muß. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn auch für jedes Y E NbF das volle Urbild von y aus genau einem Element XE VbF besteht, d. , wenn nicht nur das Original sein Bild eindeutig bestimmt, sondern auch das Bild einen eindeutigen Rückschluß auf das Original gestattet. Solche Abbildungen heißen eineindeutige Abbildungen (manchmal auch eindeutig umkehrbare Abbildungen). Durch die Verdoppelung der Silbe "ein" soll angedeutet werden, daß die Abbildung "in bei den Richtungen eindeutig" ist.

Mengen (b) Sind K (:) und K (~) verschiedene Klassen, so sind sie elementefremd, was man am einfachsten indirekt zeigt: Wäre ~ ein Element, das beiden Klassen und mithin ihrem Durch:chnitt angehört, so würde aus ay ~ E K (:) folgen, daß = xb, und analog erhielte man ey y= xd aus ; E K (~) . Die Schlußkette ay = xb = ayd = Xbd} = ayd = eyb ad = eb ey = xd= eyb = xdb yH = liefert ad = eb, und. daraus folgt, wie wir sogleich sehen werden, die Gleichheit der beiden Klassen im Widerspruch zu ihrer vorausgesetzten Verschiedenheit.

B) M 2 : {+l; -I}. c) M 3 : Die Menge aller rationalen Zahlen, die sowohl kleiner als 7t als auch größer als ~2 sind. 2. Drei Geraden G 10 G 2 , G3 einer Ebene werden durch folgende Gleichungen beschrieben: (GI) X + 2y = 4, (G 2 ) X - 2y = 0, (G 3 ) 3x - 2y = 4. Man ermittle GI r\ G2 r\ G3 und deute das Ergebnis. 3. Man beweise, daß für beliebige Mengen A, B gilt: a)Av(Ar\B)=A, b)(A\B)vB=AvB. 4. Man zeige: A ~ B ~ C A vB = B r\ C. 5. Man beweise: Sind wenigstens zwei der Mengen Al' A 2 • 44 1.

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by Paul
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